设f(x)=∫(上x下1)lntdt/1+t,求f(2)+f(1/2)

Question

设f(x)=∫(上x 下1)lntdt/1+t,求f(2)+f(1/2)

Answer 1

f(2) + f(1/2)
= ∫(上2 下1)lntdt/(1+t) + ∫(上1/2 下1)lntdt/(1+t)
t = 1/x,dt = -dx/x^2,t:1->1/2,x:1->2
∫(上1/2 下1)lntdt/(1+t) = ∫(上2 下1)ln(1/x)(-dx)/[(1+1/x)x^2]
= ∫(上2 下1)lnxdx/[(1+x)x]
= ∫(上2 下1)lnxdx/x - ∫(上2 下1)lnxdx/(1+x)
所以
f(2) + f(1/2)
= ∫(上2 下1)lntdt/(1+t) + ∫(上1/2 下1)lntdt/(1+t)
= ∫(上2 下1)lntdt/(1+t) + ∫(上2 下1)lnxdx/x - ∫(上2 下1)lnxdx/(1+x)
= ∫(上2 下1)lnxdx/x
= (1/2)[lnx]^2(上2 下1)
= 1/2[ln2]^2