设∑＝{(x，y，z)|x+y+z＝1，x≥0，y≥0，z≥0}，则∫∫y2ds=312312．

Question

设∑＝{(x，y，z)|x+y+z＝1，x≥0，y≥0，z≥0}，则

∫∫

y2ds=

(√(3))/(12)

(√(3))/(12)

．

Answer 1

因为x+y+z=1，
所以z=1-x-y，z′_x=-1，z′_y=-1，
由于曲面在xOy面上的投影为：D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1-x}，
从而：
I=

∬

y2ds=

∬

D

y2√(1+(z′x)2+(z′y)2)dxdy
=√(3)

∬

D

y2dxdy=√(3)

∫

1 0

dx

∫

1−x 0

y2dy 
=(√(3))/(3)

∫

1 0

(1−x)3dx=(√(3))/(12)[−(1−x)4]

|

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