1当x->1时,已知(x^x)-1和a（x-1)^k是等价无穷小,则a=k=2.设y=y(x)是由方程∫0到xye^(t^2)dt+ye^x=2所确定的隐函数,则(dy/dx)│x0=

Question

1当x->1时,已知(x^x)-1和a（x-1)^k是等价无穷小,则a= k= 2.设y=y(x)是由方程∫0到xy e^(t^2)dt+ye^x=2
所确定的隐函数,则(dy/dx)│x_0=

Answer 1

1、x^x-1=e^(xlnx)-1,当x→1时,e^(xlnx)-1与xlnx等价
xlnx=xln(1+x-1),其中ln(1+x-1)与x-1等价,因此原式与x(x-1)等价
lim[x→1] x(x-1)/(x-1)=1,因此x(x-1)与(x-1)等价,则原式与x-1等价,因此a=1,k=1
2、将x=0代入原方程得：y=2
方程两边同时对x求导得：
e^(x²y²)*(xy)'+y'e^x+ye^x=0
即：e^(x²y²)*(y+xy')+y'e^x+ye^x=0
将x=0,y=2代入上式得：2+y'+2=0,得y'=-4