设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x2-8x+1，记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，求函数h（x）=x2f（x）+x[f（x）]2的最大值．

Question

设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x²-8x+1，记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，求函数h（x）=x²f（x）+x[f（x）]²的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1 可得

x≥1

3x−3≤1

 ①，或

x＜1

1−x≤1

 ②．
解①求得1≤x≤(4)/(3)，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集M为[0，(4)/(3)]．
（Ⅱ）由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-(1)/(4)≤x≤(3)/(4)，∴N=[-(1)/(4)，(3)/(4)]，
∴M∩N=[0，(3)/(4)]．
∵当x∈M∩N时，
f（x）=1-x，h（x）=x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]
=(1)/(4)-（x-(1)/(2)）²≤(1)/(4)，当且仅当x=(1)/(2)时，取得最大值(1)/(4)．
则函数的最大值为(1)/(4)．