设un≠0，且limn→∞nun=1，则级数∑(−1)n+1(1un+1un+1)为（）A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．收敛性不能判定

Question

设u_n≠0，且

lim

n→∞

(n)/(un)=1，则级数∑(−1)n+1((1)/(un)+(1)/(un+1))为（　　）

A．发散
B．绝对收敛
C．条件收敛
D．收敛性不能判定

Answer 1

按定义考察部分和Sn＝

n

k＝1

(−1)k+1((1)/(uk)+(1)/(uk+1))＝

n

k＝1

(−1)k+1(1)/(uk)+

n

k＝1

(−1)k+1(1)/(uk+1)=−

n

k＝1

((−1)k)/(uk)+

n+1

l＝1

(−1)l(1)/(ul)＝(1)/(u1)+((−1)n+1)/(un+1)→(1)/(u1)(n→+∞)，
所以原级数收敛．
再考察取绝对值后的级数

∞

n＝1

((1)/(un)+(1)/(un+1))．
注意((1)/(un)+(1)/(un+1))/((1)/(n))＝(n)/(un)+(n+1)/(un+1)•(n)/(n+1)→2，

∞

n＝1

(1)/(n)发散⇒

∞

n＝1

((1)/(un)+(1)/(un+1))发散．
故选：C．