设f（x）是定义在区间D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两个实数x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．（Ⅰ）试判断

Question

设f（x）是定义在区间D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两个实数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f1(x)＝x2，f2＝(1)/(x)(x＜0)是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f_n，n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m．记S_f=a₁+a₂+…+a_m对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值；
（Ⅲ）若g（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明g（x）不是R上的C函数．

Answer 1

（Ⅰ）：f₁（x）=x²是C函数，证明如下：
对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函数．
f2(x)＝(1)/(x)(x＜0)不是C函数，证明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α＝(1)/(2)，
则f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=f(−2)−(1)/(2)f(−3)−(1)/(2)f(−1)＝−(1)/(2)+(1)/(6)+(1)/(2)＞0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f2(x)＝(1)/(x)(x＜0)不是C函数．
（Ⅱ）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α＝(n)/(m)∈[0，1]．
∵f（x）是R上的下凸函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=(n)/(m)×2m＝2n．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．
（Ⅲ）假设g（x）是R上的C函数．
若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．
若g（m）＜g（n），记x1＝m，x2＝m+T，α＝1−(n−m)/(T)，则0＜α＜1，且n=αx₁+（1-α）x₂
那么g（n）=g[αx₁+（1-α）x₂]≤αg（x₁）+（1-α）g（x₂）=g（m）
这与g（m）＜g（n）矛盾．
若g（m）＞g（n），
记x1＝n，x2＝n−T，α＝1−(n−m)/(T)也可得到矛盾．
∴g（x）在[0，T]上是常数函数，又因为g（x）是周期为T的函数，所以g（x）在R上是常数函数，这与g（x）的最小正周期为T矛盾．
所以g（x）不是R上的C函数． （14分）