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设x1=10,xn+1=6+xn(n=1,2,…),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
题目详情
设x1=10,xn+1=
(n=1,2,…),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
6+xn |
▼优质解答
答案和解析
(1)先用数学归纳法证明数列{xn}是单调递减的
∵x1=10,x2=
=4
∴x2>x1
假设xk-1>xk,(k≥2且k为整数),则
xk=
=>
=xk+1
∴对一切正整数n,都有xn>xn+1
∴数列{xn}是单调递减的数列
(2)证明数列{xn}是有界的
∵xn≤x1=10,n为正整数
且由xn+1=
知,xn>0,
∴0<xn≤10,n为正整数
即数列{xn}是有界的
∴数列{xn}极限存在
假设
xn=a
则根据xn+1=
,得
a=
∴解得:a=3(舍去a=-2)
∴
xn=3
∵x1=10,x2=
6+x1 |
∴x2>x1
假设xk-1>xk,(k≥2且k为整数),则
xk=
6+xk−1 |
6+xk |
∴对一切正整数n,都有xn>xn+1
∴数列{xn}是单调递减的数列
(2)证明数列{xn}是有界的
∵xn≤x1=10,n为正整数
且由xn+1=
6+xn |
∴0<xn≤10,n为正整数
即数列{xn}是有界的
∴数列{xn}极限存在
假设
lim |
n→∞ |
则根据xn+1=
6+xn |
a=
6+a |
∴解得:a=3(舍去a=-2)
∴
lim |
n→∞ |
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