设x1=10，xn+1＝6+xn（n=1，2，…），试证数列{xn}极限存在，并求此极限．

Question

设x₁=10，xn+1＝√(6+xn)（n=1，2，…），试证数列{x_n}极限存在，并求此极限．

Answer 1

（1）先用数学归纳法证明数列{x_n}是单调递减的
∵x1＝10，x2＝√(6+x1)＝4
∴x₂＞x₁
假设x_k-1＞x_k，（k≥2且k为整数），则
xk＝√(6+xk−1)＝＞√(6+xk)＝xk+1
∴对一切正整数n，都有x_n＞x_n+1
∴数列{x_n}是单调递减的数列
（2）证明数列{x_n}是有界的
∵x_n≤x₁=10，n为正整数
且由xn+1＝√(6+xn)知，x_n＞0，
∴0＜x_n≤10，n为正整数
即数列{x_n}是有界的
∴数列{x_n}极限存在
假设

lim

n→∞

xn＝a
则根据xn+1＝√(6+xn)，得
a＝√(6+a)
∴解得：a=3（舍去a=-2）
∴

lim

n→∞

xn＝3