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设函数f(x)在点x=0的领域内二阶可导,且limx→0sinx+xf(x)x3=0,试求f(0),f′(0)以及f″(0).
题目详情
设函数f(x)在点x=0的领域内二阶可导,且
=0,试求f(0),f′(0)以及f″(0).
lim |
x→0 |
sinx+xf(x) |
x3 |
▼优质解答
答案和解析
函数f(x)在点x=0的领域内二阶可导,则函数f(x)在点x=0的领域内一阶可导,且函数及其一阶导函数连续.
=
=0
所以,
cosx+f(x)+xf′(x)=0,所以f(0)=-1;
=
=0
所以,
[-sinx+2f′(x)+xf″(x)]=0,所以,f′(x)=0
=
[
+
+
]=
+
+
=-
+
f″(0)+
=-
+
f″(0)+
f″(0)=-
+
f″(0)=0
所以,f″(0)=
.
lim |
x→0 |
sinx+xf(x) |
x3 |
lim |
x→0 |
cosx+f(x)+xf′(x) |
3x2 |
所以,
lim |
x→0 |
lim |
x→0 |
cosx+f(x)+xf′(x) |
3x2 |
lim |
x→0 |
-sinx+2f′(x)+xf″(x) |
6x |
所以,
lim |
x→0 |
lim |
x→0 |
-sinx+2f′(x)+xf″(x) |
6x |
lim |
x→0 |
-sinx |
6x |
2f′(x) |
6x |
xf″(x) |
6x |
lim |
x→0 |
-sinx |
6x |
lim |
x→0 |
2[f′(x)-f′(0)] |
6(x-0) |
lim |
x→0 |
xf″(x) |
6x |
=-
1 |
6 |
1 |
3 |
lim |
x→0 |
f″(x) |
6 |
1 |
6 |
1 |
3 |
1 |
6 |
1 |
6 |
1 |
2 |
所以,f″(0)=
1 |
3 |
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