高数:这个复函数为什么只在原点可导?函数f(z)=|z|^2除了z=0外处处不可导,为什么?1L:“很当z>0时，f=z2当z

Question

高数:这个复函数为什么只在原点可导?
函数f(z)=|z|^2除了z=0外处处不可导,为什么?
1L:“很当z>0时，f=z2当z

Answer 1

这是复变函数的解析问题.直接用柯西-黎曼方程解决就行了.
z=x+iy;
f(z)=|z|^2; 先写出它的 u(x,y)和v(x,y)
因为f(z)为实数,所以v(x,y)恒为0
u(x,y)=x^2 + y^2 然后求出u,v的偏导数.
u'x= 2x 对x求偏导.
u'y= 2y
v'x=v'y=0
可以看出只有在z=0处,即x=y=0时,才满足柯西-黎曼方程.
且f'(0)=(u'x+iv'x)|(0,0) = 0
注 ：柯西-黎曼方程 要求 1.u'x=v'y 2.u'y = -v'x