f(x)在0,1可导,f(0)=0,f(1)=1,求证存在m,n使1/f'(m)+1/f'(n)=2

Question

f(x)在【0,1】可导,f(0)=0,f(1)=1,求证存在m,n使1/f'(m)+1/f'(n)=2

Answer 1

由于f(x)在(0,1)上可导,[0,1]上连续
故,由闭区间上连续函数的介值定理,存在a∈(0,1)使得f(a)=0.5
在[0,a]上用拉格朗日中值定理,存在x∈(0,a)使得[f(a)-f(0)]/(a-0)=f'(x)
代入f(a)=1/2,即1/f'(x)=2a
在[a,1]上用拉格朗日中值定理,存在y∈(a,1)使得[f(a)-f(1)]/(a-1)=f'(y)
即1/f'(y)=2(1-a)
所以1/f'(x)+1/f'(y)=2得证