如果A有n个线性无关的特征向量,证明必与对角矩阵相似

Question

如果A有n个线性无关的特征向量,证明必与对角矩阵相似

Answer 1

设A的n个线性无关的特征向量分别为a1,a2,…,an,它们所对应的A的特征值分别为λ1,λ2,…,λn,即Aai=λiai（i=1,2,…,n）
令P=（a1,a2,…,an）,则由a1,a2,…,an线性无关可知P可逆
且AP=A（a1,a2,…,an）=（Aa1,Aa2,…,Aan）=（λ1a1,λ2a2,…,λnan）=（a1,a2,…,an）diag｛λ1,λ2,…,λn｝=Pdiag｛λ1,λ2,…,λn｝
令B=diag｛λ1,λ2,…,λn｝,则B为对角阵
由AP=PB,两边左乘P^（-1）,可得P^（-1）AP=B
即A可相似于对角阵