A是一个矩阵,那么sign(A)是什么意思?

Question

A是一个矩阵,那么sign(A)是什么意思?

Answer 1

sign(A)是矩阵的符号函数,而且一般还要求A的所有特征值都不在虚轴上,这个解释起来比较麻烦
一般来讲矩阵函数非正式但实用的理解方式就是“把矩阵代入到函数的表达式里”
比如f(x) = x^2+1 => f(A) = A^2+I
g(x) = e^x => g(A) = e^A (= I+A+A^2/2+...+A^k/k!+...)
矩阵函数可以利用相似变换来简化,即A=PDP^{-1} => f(A)=Pf(D)P^{-1}
有这些知识就可以解释了
先把A化到Jordan标准型A=PJP^{-1},然后取一个对角阵D=sign(J),D的结构是：
把J当中特征值实部大于零的块换成同阶的单位阵I,特征值实部小于零的块换成-I
这样sign(A)就定义成PDP^{-1}
当然也有不借助相似变换的定义,比如sign(A)=A(A^2)^{-1/2},但是这样写的话你还得搞懂开平方并且取复平面右侧的单值支的问题,还不如看相似变换