A为n阶矩阵,A^2=A,E为单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n

Question

A为n阶矩阵,A^2=A,E为单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n

Answer 1

因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解,由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立刻可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.