设n为正整数,x≠0时,f(x)=x^n*sin(ln|x|),f(0)=0,求证f(x)在点x=0处有1到n-1阶导数,但没有n阶导数.

Question

设n为正整数,x≠0时,f(x)=x^n*sin(ln|x|),f(0)=0,求证f(x)在点x=0处有1到n-1阶导数,但没有n阶导数.

Answer 1

f'(0)=lim(h→0)f(h)/h=limh^(n-1)sinln|h|=0
f'(x)=nx^(n-1)sinln|x|＋x^ncosln|x|*1/x=x^(n-1)(nsinln|x|＋cosln|x|)
f''(0)=lim(h→0)f'(h)/h=limh^(n-1)(nsinln|h|＋cosln|h|)=0
f''(x)=(n-1)x^(n-2)(nsinln|x|＋cosln|x|)＋x^(n-1)(ncosln|x|*1/x-sinln|x|*1/x)=x^(n-2)[(n^2-n-1)sinln|x|＋(2n-1)cosln|x|]
据此可得,f(k)(x)=x^(n-k)[φ(k)(n)sinln|x|＋ψ(k)(n)cosln|x|]
其中φ(k)(n)和ψ(k)(n)表示当k变化时,关于n的表达式.由于n是确定的正整数,所以φ(k)(n)sinln|x|＋ψ(k)(n)cosln|x|必有界
所以当k≤n-2时,f'(k＋1)(0)=lim(h→0)f(k)(h)/h=limh^(n-k-1)[ φ(k)(n)sinln|h|＋ψ(k)(n)cosln|h|]=0
而当k=n-1时,f'(k＋1)=lim(h→0) φ(k)(n)sinln|h|＋ψ(k)(n)cosln|h|不存在（0是sinln|x|的震荡间断点）
故f(x)在x=0处有1到n-1阶导数,n阶不可导.