求高阶导数设f(x)=arctan(1-2x/1+2x),则f(x)在x=0处的101阶导数是多少?

Question

求高阶导数
设f(x)=arctan(1-2x/1+2x),则f(x)在x=0处的101阶导数是多少?

Answer 1

先把f(x)在x=0处展成无穷级数.
因为f'(x)=[arctan(1-2x/1+2x]'= -2/(1+4x^2),
所以f(x)-f(0)=∫(0->x) f'(t)dt=∫(0->x) -2/(1+4x^2)dt=(-2)∫(0->x) ∑(-4x^2)^n dx
=(-2)∑[(-4)^n]*[x^(2n+1)/(2n+1)]
所以f(x)=π/4+(-2)∑[(-4)^n]*[x^(2n+1)/(2n+1)]
要求101阶导数,只要令2n+1=101,n=50
所以x^101的系数为,(-2)*(-4)^50/101
在泰勒级数展开中,x^101的系数为f^101(0)/101!
所以令(-2)*(-4)^50/101=f^101(0)/101!
解得f^101(0)=-2*(4^50)*(100!)