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一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差,则称这个自然数为“好数”.例如,16=52-32就是一个“好数”.(1)2014是不是“好数”?说明理由.(2)从小到大排列,第2014
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一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差,则称这个自然数为“好数”.例如,16=52-32就是一个“好数”.
(1)2014是不是“好数”?说明理由.
(2)从小到大排列,第2014个“好数”是哪个自然数?
(1)2014是不是“好数”?说明理由.
(2)从小到大排列,第2014个“好数”是哪个自然数?
▼优质解答
答案和解析
(1)2014不是“好数”.如果2014是“好数”,不妨设2014=m2-n2(m,n为自然数),
则(m+n)(m-n)=2×1007,而m+n,m-n的奇、偶性相同,即(m+n)(m-n),要么是奇数要么能被4整除.
所以2014不是“好数”.
(2)设k为自然数,由(1)类似可得如4k+2的自然数都不是“好数”,
(k+1)2-(k-1)2=4k,(k+1)2-k2=2k+1,
故4k,2k+1的自然数都是“好数”,
所以从小到大的“好数”为:0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,…
所以第n个“好数”为:n-1+[
],
所以第2014个“好数”为2684.
则(m+n)(m-n)=2×1007,而m+n,m-n的奇、偶性相同,即(m+n)(m-n),要么是奇数要么能被4整除.
所以2014不是“好数”.
(2)设k为自然数,由(1)类似可得如4k+2的自然数都不是“好数”,
(k+1)2-(k-1)2=4k,(k+1)2-k2=2k+1,
故4k,2k+1的自然数都是“好数”,
所以从小到大的“好数”为:0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,…
所以第n个“好数”为:n-1+[
n |
3 |
所以第2014个“好数”为2684.
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