空间6个点，任三点不共线，对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色，是否必有两个同色三角形？

Question

空间6个点，任三点不共线，对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色，是否必有两个同色三角形？

Answer 1

设这六个点为A、B、C、D、E、F．
①我们先证明存在一个同色的三角形：
考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF，其中必有三条被染成了相同的颜色，不妨设AB、AC、AD三条同为红色．再考虑三角形BCD的三边：若其中有一条为红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则三角形BCD为蓝色三角形．
②下面再来证明有两个同色三角形，不妨设三角形ABC的三边同为红色．
（1）若三角形DEF也是红色三角形，则存在两个同色三角形．
（2）若三角形DEF中有一条边为蓝色（不妨设DE），下面考虑DA、DB、DC三条线段，其中必有两条同色．
①若其中有两条是红色的，如DA、DB是红色的，则三角形DAB为第二个同色三角形（图1）．
②若其中有两条是蓝色的，设DA、DB为蓝色（图2）．此时在EA、EB两条线段中，若有一条为蓝色，则存在一个蓝色三角形；若两条都是红色的，则三角形EAB为红色三角形．
综上所述，一定有两个同色三角形．