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如图,已知平行四边形ABCD,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连结AF、CE.(1)求证:四边形AECF为平行四边形;(2)当AECF为菱形,M点为BC的中点时,求AB:AE的值.

题目详情
如图,已知平行四边形ABCD,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连结AF、CE.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)当AECF为菱形,M点为BC的中点时,求AB:AE的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明见解析(2)

(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴BC∥AD(平行四边形的对边相互平行)。
又∵AM丄BC(已知),∴AM⊥AD。
∵CN丄AD(已知),∴AM∥CN。∴AE∥CF。
又由平行得∠ADE=∠CBD,又AD=BC(平行四边形的对边相等)。
在△ADE和△CBF中, ∠DAE=∠BCF="90" ,AD=CB,∠ADE=∠FBC,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=CF(全等三角形的对应边相等)。
∴四边形AECF为平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形)。
(2)如图,连接AC交BF于点0,当AECF为菱形时,则AC与EF互相垂直平分。

∵BO=OD(平行四边形的对角线相互平分),
∴AC与BD互相垂直平分。
ABCD是菱形(对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形)。
∴AB=BC(菱形的邻边相等)。
∵M是BC的中点,AM丄BC(已知),∴△ABM≌△CAM。
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)。∴△ABC为等边三角形。
∴∠ABC=60°,∠CBD=30°。
在Rt△BCF中,CF:BC=tan∠CBF=
又∵AE=CF,AB=BC,∴AB:AE=
(1)根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF;然后由ASA推知△ADE≌△CBF;最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF,根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出结论。
(2)如图,连接AC交BF于点0.由菱形的判定定理推知平行四边形ABCD是菱形,根据菱形的邻边相等知AB=BC;然后结合已知条件“M是BC的中点,AM丄BC”证得△ADE≌△CBF(ASA),所以AE=CF(全等三角形的对应边相等),从而证得△ABC是正三角形;最后在Rt△BCF中,利用锐角三角函数的定义求得CF:BC=tan∠CBF= ,利用等量代换知(AE=CF,AB=BC)AB:AE=