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(2010•盘锦)如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:EF=CD;(2)在(1)的条件下直接写出
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(2010•盘锦)如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:EF=CD;
(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:EF=CD;
(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,且∠BAD=
∠BAC=30°,
∵△AED是等边三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°,
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°,
∴∠ACF=∠BAD=30°,
在△ABD和△CAF中,
,
∴△ABD≌△CAF(ASA),
∴AD=CF,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=CD.
(2)△AEF和△ABC的面积比为:1:4;
(3)成立.
理由如下:∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA,
在△ABD和△CAF中,
∴△ABD≌△CAF(AAS),
∴AD=FC,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=DC.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,且∠BAD=
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∵△AED是等边三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°,
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°,
∴∠ACF=∠BAD=30°,
在△ABD和△CAF中,
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∴△ABD≌△CAF(ASA),
∴AD=CF,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=CD.
(2)△AEF和△ABC的面积比为:1:4;
(3)成立.
理由如下:∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA,
在△ABD和△CAF中,
|
∴△ABD≌△CAF(AAS),
∴AD=FC,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=DC.
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