如图，E是▱ABCD内一点，已知DE⊥AD，∠CBE=∠CDE，∠BCE=45°，延长CE交AD、BA的延长线于F、G，连接BF．下列结论：①BE=CD；②四边形BCDF为等腰梯形；③BC-DE=2CE；④EF•EG=2AB2．其中结论正确的个数

Question

如图，E是▱ABCD内一点，已知DE⊥AD，∠CBE=∠CDE，∠BCE=45°，延长CE交AD、BA的延长线于F、G，连接BF．下列结论：①BE=CD；②四边形BCDF为等腰梯形；③BC-DE=√(2)CE；④EF•EG=2AB²．其中结论正确的个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠CBE=∠CDE，
∴∠ABC-∠CBE=∠ADC-∠CDE，
∴∠ABE=∠ADE，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴BE⊥AB，∴①正确；
延长DE交BC于N，过E作EM⊥CF交BC于M，
则∠MEC=90°，
∵∠BCE=45°，
∴∠EMC=45°=∠BCE，
∴CE=ME，∠BME=∠BCE+∠MEC=45°+90°=135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴NC∥AD，
∵DE⊥AD，
∴DN⊥BC，
∴∠DNC=90°，
∴∠CED=90°+45°=135°，
∴∠BME=∠DEC=135°，
在△BME和△DEC中

∠MBE＝∠CDE

∠BME＝∠DEC

EM＝CE

∴△BME≌△DEC（AAS），
∴BE=CD，∴②正确；

连接DM，
∵∠BME=∠CED=135°，∠MEC=90°，
∴∠MED=360°-90°-135°=135°，
∴∠BME=∠DEM，
在△BME和△DEM中

BM＝DE

∠BME＝∠DEM

ME＝ME

∴△BME≌△DEM，
∴∠CBE=∠EDM=∠CDE，BE=DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∵CM=AF，
∴BM=DF，
∴四边形BMDF是平行四边形，
∴MD=BF，
∵BE=DM，BE=CD，
∴BF=CD，
∵DF∥BC，
∴四边形BCDF是等腰梯形，∴③正确；
∵△BME≌△△DEC，
∴BM=DE，EM=DE，
∵∠FDE=90°，∠FED=180°-135°=45°，
∴∠DFE=∠FED=45°，
∴DF=DE=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴CM=AF，
在Rt△MEC中，∠MEC=90°，CE=EM，由勾股定理得：CM=√(2)CE，
即AF=√(2)CE，∴④正确；
故选D．