电磁炉专用平底锅的锅底和锅壁均由耐高温绝缘材料制成,起加热作用的是安装在锅底平面的一系列粗细均匀半径不同的同心导体环（导体环的分布如图所示），导体环所用材料每米的

Question

电磁炉专用平底锅的锅底和锅壁均由耐高温绝缘材料制成,起加热作用的是安装在锅

底平面的一系列粗细均匀半径不同的同心导体环（导体环的分布如图所示），导体环所用材料每米的电阻值为 R ₀ Ω，从中心向外第n个同心圆环的半径为 r _n = nr ₀  (其中 n =1,2,3,…，8,共有8个圆环， r ₀ 为已知量)，如图所示。当电磁炉开启后，能产生垂直于锅底方向的变化磁场，该磁场在环状导体上产生的感应电动势规律为： e=S ·2 sin ωt （式中： e 为瞬时感应电动势， S 为环状导体所包围的圆平面的面积， ω 为已知常数）,那么，当电磁炉正常工作时，求：
（1）第 n 个导体环中感应电流的有效值表达式；
（2）前三条（靠近中心的三条）导体环释放的总功率有多大？
（3）假设导体环产生的热量全部以波长为 λ 的红外线光子辐射出来，  
那么第三条导体环上 t 秒钟内射出的光子数是多少？
（光速 c 和普朗克常数 h 为已知量， t>> 2π/ ω ）

Answer 1

（1） r _n /R ₀ = n (n =1,2,…,8)    （2）72πr ³ ₀ /R ₀       （3）N ₃ =

（1）根据法拉第电磁感应定律:
第n个环中的感应电动势最大值为：E _nmax =2 r ² _n ……………………….（1分）
第n个环的电阻为：R _n =2πr _n ·R ₀ ……………………………………….（1分）
因此第n个环中电流的最大值为：I _nmax =E _nmax /R _n = r _n /R ₀ ……………..（2分）
因此第n个环中电流的有效值为：
I _n =  =r _n /R ₀ = n (n=1,2,…,8).……………………………….（2分）
（2）由：P ₁ = ……………………………………………………………………………..（2分）
和：P _n =I ² _n R _n =n ³ P ₁ ………………………………………………………………....（2分）
前三个导电圆环，释放的总功率：
P=P ₁ +P ₂ +P ₃ =（1 ³ +2 ³ +3 ³ ）P ₁ =72πr ³ ₀ /R ₀ …………………………………………..（2分）
（3）设:t秒内辐射出的光子数为N _n ，因为电能全部转化为光能：
∴I ² _n R _n t=N _n ·h …………………………………………………………………….（2分）
c=λ …………………………………………………………………………….(2分)
∴N _n = n ³ ………………………………………………………………………（1分）
第三条导体环上释放的光子数：N ₃ = ……………………………… ………………… （1分）