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平面上有三点M、A、B,若MA=MB,则称点A、B为点M的等距点.问题探究:(1)如图①,在△ABC中,AB=AC,点P为AB上一点,试在AC上确定一点Q,使点P、Q为点A的等距点;(2)如图②,平行四边形A

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平面上有三点M、A、B,若MA=MB,则称点A、B为点M的等距点.
作业搜
问题探究:(1)如图①,在△ABC中,AB=AC,点P为AB上一点,试在AC上确定一点Q,使点P、Q为点A的等距点;
(2)如图②,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,点P是AD边上一定点,试在BC边上找点Q,使点P、Q为点O的等距点,并说明理由.
问题解决:
(3)如图③,在正方形ABCD中,AB=1,点P是对角线AC上一动点,在边CD上是否存在点Q,使点B、Q为点P的等距点,同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半?若存在这样的点Q,求出CQ的长;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图①,以A为圆心,AP为半径作圆,交AC于点Q,作业搜
则点Q即为所求;
(2)延长PO与BC交于点Q,则OP=OQ,
在△APO和△CQO中,
∠OAP=∠OCQ
OA=OC
∠AOP=∠COQ

∴△APO≌△CQO,
∴OP=OQ,
作OM⊥BC,截取MQ′=MQ,作业搜
连接OQ′,则OQ′=OQ=OP,
∴P、Q、Q′都为点O的等距离点;
(3)连接PB、PD,作PM⊥CD于M,在CM上截取MQ=MD,
则PB=PD,PD=PQ,
设DM=MQ=x,
由题意得,1-
1
2
×(1-x)×x-x2-
1
2
×(1-x)×x-
1
2
×(1-x)×2x=
1
2

整理得,x2-2x+
1
2
=0,
解得,x1=
2-
2
2
,x2=
2+
2
2
(舍去),
则DM=
2-
2
2

∴CQ=1-2DM=
2
-1.作业搜
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