（2014•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°

题目详情

（2014•盘锦）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

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答案和解析

（1）由题意可知：A（4，-4），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点、点E（8，0 ）和A（4，-4），则

c＝0

64a+8b+c＝0

16a+4b+c＝−4

，
解得：

a＝

b＝−2

c＝0

．
∴抛物线的解析式为：y=

x²-2x．

（2）∵∠APC=90°，
∴∠CPG=∠PAB，
∴△PCG≌△APB，
∴PG=AB，CG=PB，
∵P（m，0），AB=4，PB=4-m，
∴G（4+m，0），
∴C（4+m，4-m），

（3）把x=4+m代入y=

x²-2x得：y=

m²-4
∴D（4+m，

m²-4），
∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∴（4-m）-（

m²-4）=4，
解得：m=-2+2

，m=-2-2

（舍去），
∴P（-2+2