已知点A是抛物线C：x2=2py（p>0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是．

Question

已知点A是抛物线C：x²=2py（p>0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是___．

Answer 1

由抛物线的对称性可知A，B关于y轴对称，不妨设A（a，b）在第一象限．
∵△ABO为等边三角形，∴∠AOM=30°．
∵|MA|=|MO|=10，∴∠OMA=120°．
∴|OA|=√(|OM|2+|MA|2-2|OM|•|MA|cos120°)=10√(3)．
∴A（5√(3)，15）．
∴（5√(3)）²=2p×15，解得p=(5)/(2)．
故答案为：(5)/(2)．