已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线过C（0，-8），
∴c=-8，即y=ax²+bx-8，
由函数经过点（14，0）及对称轴为x=4可得

−(b)/(2a)＝4

196a+14b−8＝0

，
解得：

a＝(2)/(21)

b＝−(16)/(21)

，
∴该抛物线的解析式为y=(2)/(21)x²-(16)/(21)x-8．
（2）

存在直线CD垂直平分PQ．
由函数解析式为y=(2)/(21)x²-(16)/(21)x-8，可求出点A坐标为（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=√(AO2+OC2)=√(100)=10=AD，
故可得OD=AD-OA=4，点D在函数的对称轴上，
∵线CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴点D是AB中点，
∴DQ为△ABC的中位线，
∴DQ=(1)/(2)AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分．
在Rt△BOC中，BC=√(OC2+OB2)=√(82+142)=2√(65)，
而DQ为△ABC的中位线，Q是BC中点，
∴CQ=√(65)，
∴点Q的运动速度为每秒(√(65))/(5)单位长度；
（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=(1)/(2)OC=4，PH=OP+OH=1+7=8，

在Rt△PQH中，PQ=√(42+82)=√(80)=4√(5)，
①当MP=MQ，即M为顶点，则此时CD与PQ的交点即是M点（上面已经证明CD垂直平分PQ），
设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），
因为点C（0，-8），点D（4，0），
所以可得直线CD的解析式为：y=2x-8，
当x=1时，y=-6，
∴M₁（1，-6）；
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．
设直线x=1上存在点M（1，y），因为点P坐标为（-1，0），
从而可得PM²=2²+y²，
又PQ²=80，
则2²+y²=80，
即y=±√(76)，
∴M₂（1，2√(19)），M₃（1，-2√(19)）；
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，点Q坐标为（7，-4），
设直线x=1存在点M（1，y），
则QM²=6²+（y+4）²=80，
解得：y=2√(11)-4或-2√(11)-4；
∴M₄（1，-4+2√(11)），M₅（1，-4-2√(11)）；
综上所述：存在这样的五点：
M₁（1，-6），M₂（1，2√(19)），M₃（1，-2√(19)）M₄（1，-4+2√(11)），M₅（1，-4-2√(11)）．