已知：在正方形ABCD中，点E是边AB上点，点G在边AD上，连接EG，EG=DG，作EF⊥EG，交边BC于点F（图1）．（1）求证：AE+CF=EF；（2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2

题目详情

已知：在正方形ABCD中，点E是边AB上点，点G在边AD上，连接EG，EG=DG，作EF⊥EG，交边BC于点F（图1）．

（1）求证：AE+CF=EF；
（2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK=8

．△BEF的周长为24，求PK的长．

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：连结DF，作DM⊥EF，垂足M．
∵DM⊥EF，GE⊥EF，
∴∠GEF=∠DMF=90°，
∴DM∥GE，
∴∠MDE=∠DEG，
∵DG=GE，
∴△GDE是等腰三角形，
∴∠GED=∠GDE，
∴∠GDE=∠EDM，

∵在△DAE和△DME中，

∠ADE＝∠MDE

∠A＝∠DME＝90°

DE＝DE

，
∴△DAE≌△DME（AAS），
∴DM=AD，AE=ME，
∵AD=CD，
∴DC=DM，
在Rt△DCF和Rt△DMF中，

DF＝DF

DM＝DC

，
∴Rt△DCF≌Rt△DMF（HL），
∴CF=MF，
∴AE+CF=EM+MF，
∵EM+MF=EF，
∴AE+CF=EF；

（2）连接EK、ED．
由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，
∴∠ADE=∠MDE=

∠ADM，∠CDF=∠MDF=

∠CDM，
∴∠EDF=∠EDM+∠MDF=

∠ADM+

∠CDM=

∠ADC=45°，
∵∠EAK=45°，
∴∠EAK=∠EDK，
∴A、E、K、D四点共圆，
∴∠EAD+∠EKD=180°，
∴∠EKD=180°-∠EAD=90°，
∴∠EDK=45°，
∴△EDK是等腰直角三角形，DE²=2DK²，
∵S_{四边形AEKD}=S_△ADE+S_△KDE=S_△AEK+S_△KDA，
∴

AD•AE+

DK•EK=

AK•AE•sin∠EAK+

AK•AD•sin∠DAK，
∴AD•AE+DK²=AK•AE×