在某工厂要用铁板作成一个am^3得有盖长方体水箱向长,宽,高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省

Question

在某工厂要用铁板作成一个am^3得有盖长方体水箱向长,宽,高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省

Answer 1

拉格朗日乘数法
设用料最省时长宽高分别为x,y,z,则用料
f(x,y,z)=2(xy+yz+xz)
约束条件：xyz=a=> g(x,y,z)=xyz-a
构造拉格朗日函数L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-a)
∂L/∂x=2(y+z)+λyz=0
∂L/∂y=2(x+z)+λxz=0
∂L/∂z=2(x+y)+λxy=0
∂L/∂λ=xyz-a=0
解得
x=y=z=³√a m
即长宽高均为³√a m时用料最省