（2013•枣庄一模）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2≤a≤5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元

Question

（2013•枣庄一模）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2≤a≤5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(k)/(ex)（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
（1）求分公司经营该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．
参考公式：（c^ax+b）′=ae^ax+b（a、b为常数）

Answer 1

（1）由题意，该产品一年的销售量为y=(k)/(ex)
将x=40，y=500代入得k=500e⁴⁰
故该产品一年的销售量为y=500e^40-x…2分
故L（x）=（x-30-a）y=500（x-30-a）e^40-x（35≤x≤41）…4分
（2）由（1）得，L′（x）=500[e^40-x-（x-30-a）e^40-x]=500e^40-x（31+a-x），（35≤x≤41）…5分
①当2≤a≤4时，L′（x）≤500e^40-x（31+4-35）=0，当且仅当a=4，x=35时取等号
故L（x）在[35，41]上单调递减
故L（x）的最大值为L（35）=500（5-a）e⁵…8分
②当4＜a≤5时，L′（x）＞0⇔35≤x＜31+a，
L′（x）＜0⇔31+a＜x≤41
故L（x）在[35，31+a]上单调递增，在[31+a，41]上单调递减
故L（x）的最大值为L（31+a）=500e^9-a…8分
综上所述，当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500（5-a）e⁵万元；当4＜a≤5时，每件产品的售价为（31+a）元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e^9-a万元；