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已知f(x)=asin2x+bcos2x(a,b为常数),若对于任意x∈R都有f(x)≥f(5π12),则方程f(x)=0在区间[0,π]内的解为π6或2π3π6或2π3.
题目详情
已知f(x)=asin2x+bcos2x(a,b为常数),若对于任意x∈R都有f(x)≥f(
),则方程f(x)=0在区间[0,π]内的解为
或
或
.
5π |
12 |
π |
6 |
2π |
3 |
π |
6 |
2π |
3 |
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)=asin2x+bcos2x=
sin(2x+θ)其中tanθ=
,
由f(x)≥f(
),则f(
)是函数f(x)的最小值,
即f(
)=−
,
∴f(
)=asin
+bcos
=
a−
b=−
,
即a−
b=−2
,
平方得,a2−2
ab+3b2=4a2+4b2,
即3a2+2
ab+b2=0,
∴(
a+b)2=0,解得b=-
a,
∵tanθ=
=−
,不妨设θ=−
,
则f(x)=asin2x+bcos2x=
sin(2x-
),
由f(x)=
sin(2x-
)=0,
解得2x-
=kπ,
即x=
+
,k∈Z,
∵x∈[0,π],
∴当k=0时,x=
,
当k=1时,x=
+
=
,
故x=
或=
.
故答案为:
或
.
a2+b2 |
b |
a |
由f(x)≥f(
5π |
12 |
5π |
12 |
即f(
5π |
12 |
a2+b2 |
∴f(
5π |
12 |
5π |
6 |
5π |
6 |
1 |
2 |
| ||
2 |
a2+b2 |
即a−
3 |
a2+b2 |
平方得,a2−2
3 |
即3a2+2
3 |
∴(
3 |
3 |
∵tanθ=
b |
a |
3 |
π |
3 |
则f(x)=asin2x+bcos2x=
a2+b2 |
π |
3 |
由f(x)=
a2+b2 |
π |
3 |
解得2x-
π |
3 |
即x=
kπ |
2 |
π |
6 |
∵x∈[0,π],
∴当k=0时,x=
π |
6 |
当k=1时,x=
π |
2 |
π |
6 |
2π |
3 |
故x=
2π |
3 |
π |
6 |
故答案为:
π |
6 |
2π |
3 |
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