已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R都有f（x）≥f（5π12），则方程f（x）=0在区间[0，π]内的解为π6或2π3π6或2π3．

Question

已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R都有f（x）≥f（(5π)/(12)），则方程f（x）=0在区间[0，π]内的解为

(π)/(6)或(2π)/(3)

(π)/(6)或(2π)/(3)

．

Answer 1

∵f（x）=asin2x+bcos2x=√(a2+b2)sin（2x+θ）其中tanθ＝(b)/(a)，
由f（x）≥f（(5π)/(12)），则f（(5π)/(12)）是函数f（x）的最小值，
即f（(5π)/(12)）=−√(a2+b2)，
∴f（(5π)/(12)）=asin⁡(5π)/(6)+bcos⁡(5π)/(6)＝(1)/(2)a−(√(3))/(2)b＝−√(a2+b2)，
即a−√(3)b＝−2√(a2+b2)，
平方得，a2−2√(3)ab+3b2＝4a2+4b2，
即3a2+2√(3)ab+b2＝0，
∴(√(3)a+b)2＝0，解得b=-√(3)a，
∵tanθ＝(b)/(a)=−√(3)，不妨设θ＝−(π)/(3)，
则f（x）=asin2x+bcos2x=√(a2+b2)sin（2x-(π)/(3)），
由f（x）=√(a2+b2)sin（2x-(π)/(3)）=0，
解得2x-(π)/(3)=kπ，
即x=(kπ)/(2)+(π)/(6)，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴当k=0时，x=(π)/(6)，
当k=1时，x=(π)/(2)+(π)/(6)＝(2π)/(3)，
故x=(2π)/(3)或=(π)/(6)．
故答案为：(π)/(6)或(2π)/(3)．