从一块圆心角为2π3，半径为R的扇形钢板上切割一块矩形钢板，请问怎样设计切割方案，才能使矩形面积最大？并说明理由．

Question

从一块圆心角为(2π)/(3)，半径为R的扇形钢板上切割一块矩形钢板，请问怎样设计切割方案，才能使矩形面积最大？并说明理由．

Answer 1

方案一：GF∥ON
设OE=a，EF=b，S矩形OEFG＝OE×EF＝ab≤(a2+b2)/(2)，a²+b²=R²
当a=b时，S_矩形OEFG的最大值为(R2)/(2)．


方案二：AB∥MN

设∠COB＝θ，(0＜θ＜(π)/(3))AB＝2OCsin((π)/(3)−θ)＝2Rsin((π)/(3)−θ)
在△BOC中运用正弦定理，(OC)/(sin∠OBC)＝(BC)/(sin∠BOC)∠OBC＝(2π)/(3)，(R)/(sin(2π)/(3))＝(BC)/(sinθ)，BC＝(2Rsinθ)/(√(3))，
S_矩形ABCD=AB×CD=(2Rsinθ)/(√(3))2Rsin((π)/(3)−θ)，
令y＝sinθsin((π)/(3)−θ)＝−(1)/(2)[cos(θ+(π)/(3)−θ)−cos(θ−(π)/(3)+θ)]=(1)/(2)cos(2θ−(π)/(3))−(1)/(4)，当θ＝(π)/(6)时，ymax＝(1)/(4)，
S_矩形OEFG的最大值

作业帮用户 2017-09-28 举报

问题解析

对甲种裁法分析设OE=a，EF=b，则得出面积，利用基本不等式求最值的方法求出最大面积；对乙种裁法分析设∠COB=θ，利用三角函数表示出长为2Rsin（60°-θ），用正弦定理，表示BC，进而表示出面积，比较看哪个面积大即可．

名师点评

本题考点：

基本不等式；扇形面积公式．

考点点评：

考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及运用两角和与差的正弦函数的能力，求正弦函数最值的能力．

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