如图，在平面直角坐标系xoy中，圆x2+y2=r2（r>0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若OP=mOA+nOB（m，n∈R），则14是m2，n2的等差中项，现有一椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）内切于矩形ABCD，任取椭圆上一

Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，圆x²+y²=r²（r>0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若

OP

=m

OA

+n

OB

（m，n∈R），则(1)/(4)是m²，n²的等差中项，现有一椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若

OP

=m

OA

+n

OB

（m，n∈R），则m²，n²的等差中项为（　　）

A.

(1)/(4)

B.

(1)/(2)

C.

(√(2))/(2)

D. 1

Answer 1

设P（x，y），则
由题意，

OA

=（a，b），

OB

=（-a，b），
∵

OP

=m

OA

+n

OB

，
∴（x，y）=（ma，mb）+（-na，nb），
∴x=（m-n）a，y=（m+n）b，
∴(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=((m-n)2a2)/(a2)+((m+n)2b2)/(b2)=1，
即m2+n2=(1)/(2)．
故选：B．