如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=265km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=513，游船离开观光

Question

如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=(26)/(5)km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=(5)/(13)，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设sinα=(4)/(5)，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．

Answer 1

（Ⅰ） 如图，作PN⊥AB，N为垂足．
sinθ=(5)/(13)，sinα=(4)/(5)，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=5.2×(5)/(13)=2（km），
QN=PQcosθ=5.2×(12)/(13)=4.8（km）．
在Rt△PNM中，MN=(PN)/(tanα)=1.5（km）．…（3分）
设游船从P到Q所用时间为t₁h，游客甲从P经M到Q所用时间为t₂h，
小船的速度为v₁km/h，则t₁=(PQ)/(13)=0.4（h），t₂=(PM)/(v1)+(MQ)/(66)=(5)/(2v1)+(1)/(20)（h）．  …（5分）
由已知得：t₂+(1)/(20)=＋t₁，(5)/(2v1)+(1)/(20)+(1)/(20)=0.4，
∴v₁=(25)/(3)．…（7分）
∴小船的速度为(25)/(3)km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，PM=(PN)/(sinα)=(2)/(sinα)（km），MN=(2cosα)/(sinα)（km）．
∴QM=QN-MN=4.8-(2cosα)/(sinα)（km）．               …（9分）
∴t=(PM)/(10)+(QM)/(66)=(1)/(165)×(33−5cosα)/(sinα)+(4)/(55)．…（11分）
∵t′=(5−33cosα)/(165sin2α)，…（13分）
∴令t'=0得：cosα=(5)/(33)．
当cosα＜(5)/(33)时，t'＞0；当cosα＞(5)/(33)时，t'＜0．
∵cosα在α∈（0，(π)/(2)）上是减函数，
∴当方位角α满足cosα=(5)/(33)时，t最小，
即游客甲能按计划以最短时间到达Q．…（15分）