抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切．

Question

抛物线y²=2px的内接三角形有两边与抛物线x²=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x²=2qy相切．

Answer 1

不失一般性，设p＞0，q＞0．又设y²=2px的内接三角形顶点为
A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）
因此y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，y₃²=2px₃
其中y₁≠y₂，y₂≠y₃，y₃≠y₁．
依题意，设A₁A₂，A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，
要证A₃A₁也与抛物线x²=2qy相切
因为x²=2qy在原点O处的切线是y²=2px的对称轴，
所以原点O不能是所设内接三角形的顶点
即（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
都不能是（0，0）；又因A₁A₂与x²=2qy相切，
所以A₁A₂不能与Y轴平行，即x₁≠x₂，y₁≠-y₂，
直线A₁A₂的方程是y−y1＝(y2−y1)/(x2−x1)(x−x1)，
∵y₂²-y₁²=（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）．
∴A₁A₂方程是y=(2p)/(y1+y2)x+(y1y2)/(y1+y2).
A₁A₂与抛物线x²=2qy交点的横坐标满足
x2−(4pq)/(y1+y2)x−(2qy1y2)/(y1+y2)＝0，
由于A₁A₂与抛物线x²=2qy相切，上面二次方程的判别式
△=(−(4pq)/(y1+y2))2+4((2qy1y2)/(y1+y2))=0．
化简得2p²q+y₁y₂（y₁+y₂）=0（1）
同理由于A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，A₂A₃也不能与Y轴平行，即
x₂≠x₃，y₂≠-y₃，同样得到2p²q+y₂y₃（y₂+y₃）=0（2）
由（1）（2）两方程及y₂≠0，y₁≠y₃，得y₁+y₂+y₃=0．
由上式及y₂≠0，得y₃≠-y₁，也就是A₃A₁也不能与Y轴平行
今将y₂=-y₁-y₃代入（1）式得：2p²q+y₃y₁（y₃+y₁）=0（3）
（3）式说明A₃A₁与抛物线x²=2qy的两个交点重合，
即A₃A₁与抛物线x²=2qy相切
所以只要A₁A₂，A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，
则A₃A₁也与抛物线x²=2qy相切．