（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，，，其中为常数，（I）证明：；（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.

Question

（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，其中 为常数，
（I）证明： ；
（II）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由.

Answer 1

（I）详见解析；（II）存在， .

试题分析：（I）对于含 递推式的处理，往往可转换为关于项 的递推式或关于 的递推式．结合结论，该题需要转换为项 的递推式．故由 得 ．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由 ， ， ，列方程得 ，从而求出 ．得 ，故数列 的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列 的通项公式，再证明等差数列．
试题解析：（I）由题设， ， ．两式相减得， ．
由于 ，所以 ．
（II）由题设， ， ，可得 ，由（I）知， ．令 ，解得 ．
故 ，由此可得， 是首项为1，公差为4的等差数列， ；
是首项为3，公差为4的等差数列， ．
所以 ， ．
因此存在 ，使得 为等差数列．
【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．