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(本小题满分12分)已知数列的前项和为,,,,其中为常数,(I)证明:;(II)是否存在,使得为等差数列?并说明理由.
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(本小题满分12分) 已知数列 的前 项和为 , , , ,其中 为常数, (I)证明: ; (II)是否存在 ,使得 为等差数列?并说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(I)详见解析;(II)存在, . |
试题分析:(I)对于含 递推式的处理,往往可转换为关于项 的递推式或关于 的递推式.结合结论,该题需要转换为项 的递推式.故由 得 .两式相减得结论;(II)对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.本题由 , , ,列方程得 ,从而求出 .得 ,故数列 的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列.分别求通项公式,进而求数列 的通项公式,再证明等差数列. 试题解析:(I)由题设, , .两式相减得, . 由于 ,所以 . (II)由题设, , ,可得 ,由(I)知, .令 ,解得 . 故 ,由此可得, 是首项为1,公差为4的等差数列, ; 是首项为3,公差为4的等差数列, . 所以 , . 因此存在 ,使得 为等差数列. 【考点定位】1、递推公式;2、数列的通项公式;3、等差数列. |
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