（2012•荆州模拟）某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段

Question

（2012•荆州模拟）某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价-成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？

Answer 1

（1）由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，
故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元．

（2）由图知，抛物线的顶点为（6，4），
故可设抛物线的解析式为Q=a（t-6）²+4．
∵抛物线过（3，1）点，
∴a（3-6）²+4=1．
解得a＝−(1)/(3)．
故抛物线的解析式为Q=-(1)/(3)（t-6）²+4，
即Q＝−(1)/(3)t2+4t−8，其中t=3，4，5，6，7．

（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b．
∵线段经过（3，6）、（6，8）两点，
∴

3k+b＝6

6k+b＝8.

解得

k＝(2)/(3)

b＝4.

∴M＝(2)/(3)t+4，其中t=3，4，5，6，7．
故可得：一件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为：W=M-Q=((2)/(3)t+4)−(−(1)/(3)t2+4t−8)=(1)/(3)t2−(10)/(3)t+12．
即W＝(1)/(3)(t−5)2+(11)/(3)，
其中t=3，4，5，6，7．
当t=5时，W有最小值为(11)/(3)元，
即30000件商品一个月内售完至少获利30000×(11)/(3)=110000（元）．
答：该公司一个月内至少获利110000元．