在△ABC，∠BAC=60°，以BC为边在△ABC的同侧作等边△DBC，BD，AC相交于E，连结AD．（1）如图1，若ACAB=2，求证：△ABC≌△ADC；（2）如图2，若ACAB=3，求ABAD的值．

Question

在△ABC，∠BAC=60°，以BC为边在△ABC的同侧作等边△DBC，BD，AC相交于E，连结AD．
（1）如图1，若(AC)/(AB)=2，求证：△ABC≌△ADC；
（2）如图2，若(AC)/(AB)=3，求(AB)/(AD)的值．

Answer 1

（1）证明：∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠DCB=60°，BC=CD，
如图1，取AC的中点，连接BO，
∵(AC)/(AB)=2，
∴AO=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO=BO，∠AOB=60°，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=30°，
在△ABC与△ACD中，

BC=CD

∠ACB=∠ACD

AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC；

（2） 如图2，在AC上截取AF=AB，
∵∠BAC=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，
AB=AF=BF，
∵AC=3AB，
∴CF=2AB，
∵∠ABF=∠DBC=60°，
∴∠ABD+∠DBF=∠DBF+∠FBC=60°，
∴∠ABD=∠FBC，
在△ABD与△BFC中，

AB=BF

∠ABD=∠FBC

BC=BD

，
∴△ABD≌△BFC，
∴CF=AD，
∴AD=2AB，
∴(AB)/(AD)=(1)/(2)．