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已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA•PB=0，PB•PC=0，PC•PA=0，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为（）A.2B.1C.12D.14
题目详情
已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
•
=0，
•
=0，
•
=0，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为（ ）
A. 2
B. 1
C.
D.
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
A. 2
B. 1
C.
| 1 |
| 2 |
D.
| 1 |
| 4 |
▼优质解答
答案和解析
∵
•
＝0，
•
＝0，
•
＝0，
∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴4=PA2+PB2+PC2，
则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，
即4=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=
（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2，
则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2，
故选A
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴4=PA2+PB2+PC2，
则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，
即4=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=
| 1 |
| 2 |
则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2，
故选A
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