某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造

Question

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

Answer 1

（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，
底面积成本为160πr²元，
∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr²元
即200•πrh+160πr²=12000π
∴h=(1)/(5r)（300-4r²）
∴V（r）=πr²h=πr²•(1)/(5r)（300-4r²）=(π)/(5)（300r-4r³）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5√(3)
故函数V（r）的定义域为（0，5√(3)）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=(π)/(5)（300r-4r³），（0＜r＜5√(3)）
可得V′（r）=(π)/(5)（300-12r²），（0＜r＜5√(3)）
∵令V′（r）=(π)/(5)（300-12r²）=0，则r=5
∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数
当r∈（5，5√(3)）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数
且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大