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随着人们对环境关注度的提高,绿色低碳出行越来越受到市民重视,为此成都市建立了公共自行车服务系统,市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车,初次办卡时
题目详情
随着人们对环境关注度的提高,绿色低碳出行越来越受到市民重视,为此成都市建立了公共自行车服务系统,市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车,初次办卡时卡内预先赠送20分,当积分为0时,借车卡将自动锁定,限制借车,用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡,为了鼓励市民租用公共自行车出行,同时督促市民尽快还车,方便更多的市民使用,公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费,具体扣分标准如下:
①租用时间不超过1小时,免费;
⑦租用时间为1小时以上且不超过2小时,扣1分;
③租用时间为2小时以上且不超过3小时,扣2分;
④租用时间超过3小时,按每小时扣2 分收费(不足1小时的部分按1小时计算).
甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过3小时,设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6;租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.
(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率;
(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ.
①租用时间不超过1小时,免费;
⑦租用时间为1小时以上且不超过2小时,扣1分;
③租用时间为2小时以上且不超过3小时,扣2分;
④租用时间超过3小时,按每小时扣2 分收费(不足1小时的部分按1小时计算).
甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过3小时,设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6;租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.
(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率;
(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据题意,得下表,其中t表示租用时间(单位:小时):
分别记“甲扣0、1、2分”为事件A1,A2,A3,它们彼此互斥,且P(A1)=0.5,P(A2)=0.4,P(A3)=0.1
分别记“乙扣0、1、2分”为事件B1,B2,B3,它们彼此互斥,且P(B1)=0.6,P(B2)=0.2,P(B3)=0.2
由题知,A1,A2,A3与B1,B2,B3相互独立,…(2分)
记甲、乙两人所扣积分相同为事件M,则M=A1B1+A2B2+A3B3
所以P(M)=0.5×0.6+0.4×0.2+0.1×0.2=0.4…(4分)
(2)ξ的可能取值为:0,1,2,3,4…(5分)
P(ξ-0)=0.5×0.6=0.3,P(ξ=1)=0.5×0.2+0.4×0.6=0.34,P(ξ=2)=0.5×0.2+0.4×0.2+0.1×0.6=0.24,
P(ξ=3)=0.4×0.2+0.1×0.2=0.1,P(ξ=4)=0.1×0.2=0.02…(8分)
所以ξ的分布列为:
ξ的数学期望Eξ=0×0.3+1×0.34+2×0.24+3×0.1+4×0.02=1.2…(11分)
答:甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.4,ξ的数学期望为1.2…(12分)
0<t≤1扣0分 | 1<t≤2扣1分 | 2<t≤3扣2分 | |
甲 | 0.5 | 0.4 | 0.1 |
乙 | 0.6 | 0.2 | 0.2 |
分别记“乙扣0、1、2分”为事件B1,B2,B3,它们彼此互斥,且P(B1)=0.6,P(B2)=0.2,P(B3)=0.2
由题知,A1,A2,A3与B1,B2,B3相互独立,…(2分)
记甲、乙两人所扣积分相同为事件M,则M=A1B1+A2B2+A3B3
所以P(M)=0.5×0.6+0.4×0.2+0.1×0.2=0.4…(4分)
(2)ξ的可能取值为:0,1,2,3,4…(5分)
P(ξ-0)=0.5×0.6=0.3,P(ξ=1)=0.5×0.2+0.4×0.6=0.34,P(ξ=2)=0.5×0.2+0.4×0.2+0.1×0.6=0.24,
P(ξ=3)=0.4×0.2+0.1×0.2=0.1,P(ξ=4)=0.1×0.2=0.02…(8分)
所以ξ的分布列为:
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | 0.3 | 0.34 | 0.24 | 0.1 | 0.02 |
答:甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.4,ξ的数学期望为1.2…(12分)
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