设z=f（2x-y，ysinx），其中f（u，v）具有连续的二阶偏导数，求∂2z∂x∂y．

Question

设z=f（2x-y，ysinx），其中f（u，v）具有连续的二阶偏导数，求(∂2z)/(∂x∂y)．

Answer 1

∵z=f（2x-y，ysinx）
∴(∂)/(∂x)z=(∂)/(∂x)f（2x-y，ysinx）
=f₁′(∂)/(∂x)（2x-y）+f₂'(∂)/(∂x)（ysinx）
=2f₁′+ycosxf₂'
(∂2z)/(∂x∂y)=(∂)/(∂y)（2f₁′+ycosxf₂'）
=2(∂)/(∂y)f₁′+cosx(∂)/(∂y)（yf₂'）
因为：
(∂)/(∂y)f₁′=f₁₁″(∂)/(∂y)（2x-y）+f₁₂″(∂)/(∂y)（ysinx）
=-f₁₁″+sinxf₁₂″
(∂)/(∂y)（yf₂'）=f₂'+y(∂)/(∂y)f₂'
=f₂'+y[f₂₁″(∂)/(∂y)（2x-y）+f₂₂″(∂)/(∂y)（ysinx）]
=f₂'+y[-f₂₁″+sinxf₂₂″]
=f₂'-yf₂₁″+ysinxf₂₂″
所以：
(∂2z)/(∂x∂y)=2(∂)/(∂y)f₁′+cosx(∂)/(∂y)（yf₂'）
=2（-f₁₁″+sinxf₁₂″）+cosx（f₂'-yf₂₁″+ysinxf₂₂″）
=-2f₁₁″+2sinxf₁₂″+cosxf₂'-ycosf₂₁″+ysinxcosxf₂₂″
又因为函数f具有连续二阶导数，所以其二阶混合偏导数相等，即：
f₁₂″=f₂₁″
所以：
(∂2z)/(∂x∂y)=-2f₁₁″+2sinxf₁₂″+cosxf₂'-ycosf₂₁″+ysinxcosxf₂₂″
=-2f₁₁″+（2sinx-ycosx）f₁₂″+cosxf₂'+ysinxcosxf₂₂″
故(∂2z)/(∂x∂y)的值为：
-2f₁₁″+（2sinx-ycosx）f₁₂″+cosxf₂'+ysinxcosxf₂₂″