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如图,斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧面AA1B1B⊥底面ABCD,AA1=2,∠B1BA=60°.(Ⅰ)求证:平面AB1C⊥平面BDC1;(Ⅱ)求四面体AB1C1C的体积.
题目详情
如图,斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧面AA1B1B⊥底面ABCD,AA1=2,∠B1BA=60°.
(Ⅰ)求证:平面AB1C⊥平面BDC1;
(Ⅱ)求四面体AB1C1C的体积.
(Ⅰ)求证:平面AB1C⊥平面BDC1;
(Ⅱ)求四面体AB1C1C的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:如图,
在BAB1中,∵AB=1,BB1=2,∠B1BA=60°,
∴AB12=AB2+BB12-2AB•BB1cos60°=1+4-2×1×2×
=3,
∴AB12+AB2=BB12,
∴B1A⊥AB,
又∵侧面AA1B1B⊥底面ABCD,
∴B1A⊥底面ABCD,则B1A⊥BD,
又∵ABCD为正方形,
∴AC⊥BD,则BD⊥平面AB1C,
∴平面AB1C⊥平面BDC1;
(Ⅱ) ∵C1D∥B1A,AB1⊂平面AB1C,C1D⊄平面AB1C,
∴C1D∥平面AB1C,
VC1-AB1C=VD-AB1C=VB1-ACD=
×
×
=
.
在BAB1中,∵AB=1,BB1=2,∠B1BA=60°,
∴AB12=AB2+BB12-2AB•BB1cos60°=1+4-2×1×2×
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∴AB12+AB2=BB12,
∴B1A⊥AB,
又∵侧面AA1B1B⊥底面ABCD,
∴B1A⊥底面ABCD,则B1A⊥BD,
又∵ABCD为正方形,
∴AC⊥BD,则BD⊥平面AB1C,
∴平面AB1C⊥平面BDC1;
(Ⅱ) ∵C1D∥B1A,AB1⊂平面AB1C,C1D⊄平面AB1C,
∴C1D∥平面AB1C,
VC1-AB1C=VD-AB1C=VB1-ACD=
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