在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知∠A=120°，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．（1）若BC=a=20，求储存区域面积的最大

Question

在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知∠A=120°，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．
（1）若BC=a=20，求储存区域面积的最大值；
（2）若AB=AC=10，在折线MBCN内选一点D，使BD+DC=20，求四边形储存区域DBAC的最大面积．

Answer 1

（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．
由20²=x²+y²-2xycos120°≥2xy-2xycos120°，
得xy≤(202)/(2−2cos120°)＝(202)/(4sin260°)．
∴S＝(1)/(2)xysin120°≤(1)/(2)•(202)/(4sin260°)•2sin60°cos60°＝(202cos60°)/(4sin60°)＝(202)/(4tan60°)＝(100√(3))/(3)．
即四边形DBAC面积的最大值为(100√(3))/(3)，当且仅当x＝y时取到．
（2）由DB+DC=20，知点D在以B，C为焦点的椭圆上，
∵S△ABC＝(1)/(2)×10×10×(√(3))/(2)＝25√(3)，
∴要使四边形DBAC面积最大，只需△DBC的面积最大，此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点．
由BC＝10√(3)，得短半轴长b=5，S_△BCD面积的最大值为