设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A、B两人速度一定，其

Question

设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？

Answer 1

如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，
v千米/小时，再设出发x₀小时，在点P改变方向，又经过y₀小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，
（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀①
将①代入kPQ＝−(x0+y0)/(3x0)，得kPQ＝−(3)/(4)．
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线y＝−(3)/(4)x+b与圆O：x²+y²=9相切，
则有(|4b|)/(√(32+42))=3，b=(15)/(4)
答：A、B相遇点在离村中心正北3(3)/(4)千米处．