数学求不定积分什么情况下用凑微分法?什么情况下用换元法?

Question

数学求不定积分
什么情况下用凑微分法?什么情况下用换元法?

Answer 1

这个其实真的很复杂,具体问题要具体分析的,积分的难点就在于没有固定方法.
这个问题笼统点回答就是：
1、当我们遇到 ∫ f(g(x))g'(x)dx 时,如果发现 ∫f(u)du这个积分较简单,
则将 ∫ f(g(x))g'(x)dx= ∫ f(g(x))d (g(x)),来计算,这就是凑微分法（也叫第一类换元）；
2、换元法正好相反,我们遇到的是∫f(u)du,不好做,需要令u=g(x)化为∫ f(g(x))g'(x)dx,
并且∫ f(g(x))g'(x)dx较为简单,这个时候用换元法（也叫第二类换元）.
简单来说就是：凑微分是∫ f(g(x))g'(x)dx= ∫ f(g(x))d (g(x))
换元法是倒过来：∫ f(g(x))d (g(x))=∫ f(g(x))g'(x)dx
另外理论上来说,两个方法是相通的,能用这个就一定能用另一个,当然实际当中观察会有很大困难.