7道线性代数问题1.设a1=(2,2)^T,a2=(1,3)^T,A=（a1,a2）,求A^100.2.已知n阶方阵A的n个特征值为a1,a2,…an,求det（A+kE）之值,其中k为常数.3.设A是奇数阶正交矩阵,且detA=1,证明det（E-A）=0.4.证明R^

Question

7道线性代数问题
1.设a1 = (2,2)^T,a2 = (1,3)^T,A = （a1,a2） ,求A^100 .
2.已知n阶方阵A的n个特征值为a1,a2,… an,求det（A + kE）之值,其中k为常数.
3.设A是奇数阶正交矩阵,且detA = 1,证明det（E - A）= 0.
4.证明R^n中从一个单位正交基到另一个单位正交基的过渡矩阵为一个正交矩阵.
5.设一个三阶对称矩阵,a = 3 是其一个特征值,线性方程组AX = 0 的基础解系为b1 = 〖(1,2,1)〗^T ,b2 = 〖(2,1,-2)〗^T ,试求A.
6.设n阶矩阵A满足 A^2 = A ,求A的特征值,并证明E + A可逆.
7.设n阶矩阵A满足 A^m = 0 （m为大于1的整数）,证明A 不能与对角矩阵相似.
第1，7题我会了。可以不用解了

Answer 1

3:A*A^T=Edet（E - A）=|E - A|=|A*A^T-A|=|A*(A^T-E)|=|A|*|(A^T-E)|=|(A^T-E)|=|(A-E)|=(-1)^n|E-A|=-|E-A|,所以,det（E - A）= 0.6：A^2 = A,可知A的特征值是若干个1和若干个0.从而E + A的特征值是若干个2和若干...