有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．（1）若BE=2，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设B

Question

有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）若BE=√(2)，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；
（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交）
设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM²+BE²=ME²，得t=(3)/(2)，即AM=(3)/(2)．


（2）如上图（a），仿（1）得，AM=(4+x2)/(4)．
由△AMN∽△BEA，得(AN)/(AB)=(AM)/(BE)，推出y＝(x2+4)/(2x)，
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
x的取值范围为：5−√(21)≤x≤2．

（3）如上图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME．
又因为AM=ME，所以DN=NE=NA=(5)/(2)，所以(x2+4)/(2x)＝(5)/(2)，
解得：x=1或x=4．
又∵5−√(21)≤x≤2，故x=1．
或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，
推出△ABE∽△ECD，
从而得BE=1．