已知f(x)=-4cos^2x+4√3asinxcosx,将f(x)图象按向量b=(-π/4,2)平移,图象关于直线x=pai/12对称（1）求a的值,求f（x）取最大值时x的集合（2）f（x）单调区间

Question

已知f(x) =-4cos^2x+4√3asinxcosx,将f(x)图象按向量b=(-π/4,2)平移,图象关于直线x=pai/12对称
（1）求a的值,求f（x）取最大值时x的集合
（2）f（x）单调区间

Answer 1

f（x）=-2-2cos2x+2√3asin2x
平移b=(-π/4,2)得g（x）
则g（x）=f（x-π/4）+2
=-2-2cos2（x-π/4）+2√3asin2（x-π/4）+2
=2sin2x+2√3acos2x
由题意g（x）=g（π/6-x）【对称轴的运用】
2sin2x+2√3acos2x=2sin2（π/6-x）+2√3acos2（π/6-x）
右边=√3cos2x-sin2x+√3acos2x+3asin2x=√3（a+1）cos2x+（3a-1）sin2x
于是2=3a-1,2a=a+1,得a=1
f（x）=-2-2cos2x+2√3sin2x=4sin（2x-π/6）-2
f（x）最大值为2,此时2x-π/6=2kπ+π/2,x=kπ+π/3,k∈z
（2）f（x）=4sin（2x-π/6）-2
当2kπ-π/2＜2x-π/6≤2kπ+π/2,即kπ-π/6＜x≤kπ+π/3时f（x）单调增函数
当2kπ+π/2＜2x-π/6≤2kπ+3π/2,即kπ+π/3＜x≤kπ+5π/6时f（x）单调减函数
于是单调增区间为（kπ-π/6,kπ+π/3],单调减区间为（kπ+π/3,kπ+5π/6]