德国数学家康托尔“无穷集合”的证明过程?他怎么证明的一条直线上的点能够和易哥平面上的点一一对应,也能和空间中的点,天平洋上的点,以及整个地球内部的点都一一对应.这样看起来一

Question

德国数学家康托尔“无穷集合”的证明过程?
他怎么证明的一条直线上的点能够和易哥平面上的点一一对应,也能和空间中的点,天平洋上的点,以及整个地球内部的点都一一对应.这样看起来一厘米长的线段内的点与一条直线上的点“一样多”谁知道证明过程?麻烦把详细的证明过程写出来.后来他又得出很多其它惊人结论,有哪些.^-^

Answer 1

康托尔定理指的是在 Zermelo-Fr?nkel 集合论中,声称任何集合 A 的幂集(所有子集的集合)的势严格大于 A 的势.康托尔定理对于有限集合是明显的,但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立.特别是,可数无限集合的幂集是不可数无限的.要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性,只需要测试一下下面证明中无限集合.证明 设 f 是从 A 到 A 的幂集的任何函数.必须证明这个 f 必定不是满射的.要如此,展示一个 A 的子集不在 f 的像中就足够了.这个子集是要证明 B 不在 f 的像中,假设 B 在 f 的像中.那么对于某个 y ∈ A,我们有 f(y) = B.现在考虑 y ∈ B 还是 y B.如果 y ∈ B,则 y ∈ f(y),但是通过 B 的定义,这蕴涵了 y B.在另一方面,如果 y B,则 y f(y) 并因此 y ∈ B.任何方式下都是矛盾.因为 x 在表达式 "x f(x)" 中重复出现,这是对角论证法.