矩阵的特征值章节里的练习题已知矩阵A=（（6-5-3）（10-9-6）（-665））求A的n次矩阵的特征值章节里的练习题已知矩阵A=（（6-5-3）（10-9-6）（-665））（括号里的括号表示一行,总

Question

矩阵的特征值章节里的练习题 已知矩阵A=（（6 -5 -3）（10 -9 -6）（-6 6 5）） 求A的n次
矩阵的特征值章节里的练习题 已知矩阵A=（（6 -5 -3）（10 -9 -6）（-6 6 5）） （括号里的括号表示一行,总共是3x3 的矩阵） 求A的n次

Answer 1

|A-λE|=
6-λ -5 -3
10 -9-λ -6
-6 6 5-λ
c1+c2
1-λ -5 -3
1-λ -9-λ -6
0 6 5-λ
r2-r1
1-λ -5 -3
0 -4-λ -3
0 6 5-λ
= (1-λ)[(-4-λ)(5-λ)+18]
= (1-λ)(λ^2-λ-2)
= (1-λ)(λ+1)(λ-2)
所以 A 的特征值为 1,2,-1
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(1,1,0)^T
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,2,-2)^T
(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,2,-1)^T
令 P=(a1,a2,a3)=
1 1 1
1 2 2
0 -2 -1
则P 可逆,且P^-1AP=diag(1,2,-1)
所以 A=Pdiag(1,2,-1)P^-1
所以 A^n = Pdiag(1,2,-1)^nP^-1 =
- 2*(-1)^n + 2^n + 2 2*(-1)^n - 2^n - 1 (-1)^n - 2^n
- 4*(-1)^n + 2*2^n + 2 4*(-1)^n - 2*2^n - 1 2*(-1)^n - 2*2^n
2*(-1)^n - 2*2^n 2*2^n - 2*(-1)^n 2*2^n - (-1)^n