（A题）某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米．自来水公司已经修好

Question

Answer 1

（A题）（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道路线．
图形如图所示．（3分）
（2）（法一）BE=BC-CE=1700-500=1200（米），
AE=√(AB2+BE2)=1500（米），
∵△ABE∽△CFE，
得到：(CF)/(AB)＝(CE)/(AE)．
∴CF=(CE•AB)/(AE)=(500×900)/(1500)=300（米）．（5分）
∵△BHE∽△CFE，
得到(CF)/(BH)＝(CE)/(BE)，
∴BH=(BE•CF)/(CE)=(1200×300)/(500)=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴(AB)/(DG)＝(AE)/(AD)，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
√(AB2+BE2)

AB2+BE2

AB2+BE2AB2+BE22+BE22=1500（米），
∵△ABE∽△CFE，
得到：(CF)/(AB)＝(CE)/(AE)．
∴CF=(CE•AB)/(AE)=(500×900)/(1500)=300（米）．（5分）
∵△BHE∽△CFE，
得到(CF)/(BH)＝(CE)/(BE)，
∴BH=(BE•CF)/(CE)=(1200×300)/(500)=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴(AB)/(DG)＝(AE)/(AD)，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(CF)/(AB)CFCFCFABABAB＝(CE)/(AE)CECECEAEAEAE．
∴CF=(CE•AB)/(AE)=(500×900)/(1500)=300（米）．（5分）
∵△BHE∽△CFE，
得到(CF)/(BH)＝(CE)/(BE)，
∴BH=(BE•CF)/(CE)=(1200×300)/(500)=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴(AB)/(DG)＝(AE)/(AD)，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(CE•AB)/(AE)CE•ABCE•ABCE•ABAEAEAE=(500×900)/(1500)=300（米）．（5分）
∵△BHE∽△CFE，
得到(CF)/(BH)＝(CE)/(BE)，
∴BH=(BE•CF)/(CE)=(1200×300)/(500)=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴(AB)/(DG)＝(AE)/(AD)，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(500×900)/(1500)500×900500×900500×900150015001500=300（米）．（5分）
∵△BHE∽△CFE，
得到(CF)/(BH)＝(CE)/(BE)，
∴BH=(BE•CF)/(CE)=(1200×300)/(500)=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴(AB)/(DG)＝(AE)/(AD)，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(CF)/(BH)CFCFCFBHBHBH＝(CE)/(BE)CECECEBEBEBE，
∴BH=(BE•CF)/(CE)=(1200×300)/(500)=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴(AB)/(DG)＝(AE)/(AD)，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(BE•CF)/(CE)BE•CFBE•CFBE•CFCECECE=(1200×300)/(500)=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴(AB)/(DG)＝(AE)/(AD)，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(1200×300)/(500)1200×3001200×3001200×300500500500=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴(AB)/(DG)＝(AE)/(AD)，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(AB)/(DG)ABABABDGDGDG＝(AE)/(AD)AEAEAEADADAD，
∴DG=(AB•AD)/(AE)=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(AB•AD)/(AE)AB•ADAB•ADAB•ADAEAEAE=(900×1700)/(1500)=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）
(900×1700)/(1500)900×1700900×1700900×1700150015001500=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）
（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁1为点O到l的距离，
∴OO₁1为直角梯形BB₁1D₁1D的中位线，
∴2OO₁1=DD₁1+BB₁1=b+d；
同理：2OO₁1=AA₁1+CC₁1=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）
（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）